四次方程求解器

求四次方程 ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 的全部四个根，包括重根和复根。按重数计算，实系数四次方程总是有四个根：四个实根、两个实根加一对共轭复根，或两对共轭复根。求解器还会给出多项式的因式分解形式。

使用方法

1. 输入五个系数 a 到 e，缺少的项填 0。
2. 查看根：实根从小到大排列，随后是以 p + qi 表示的复根。
3. 在“根的类型”中查看实根个数和是否有重根。
4. 用因式分解形式和备注中的韦达验算来确认答案。

计算公式

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = a(x − r₁)(x − r₂)(x − r₃)(x − r₄)

展开因式分解形式即得韦达定理，例如 r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = −b/a，r₁r₂r₃r₄ = e/a。费拉里方法通过预解三次方程以代数方式求解四次方程，但封闭公式在浮点运算中可能损失精度，所以本求解器用 Aberth–Ehrlich 迭代同时求出四个根，再借助多项式的导数确定重根。

示例

对 x⁴ + 3x³ + 5x² + x − 10 = 0，求解器给出 x = −2、x = 1 以及共轭复根 x = −1 ± 2i。因式分解形式为 (x + 2)(x − 1)(x² + 2x + 5)，二次因式的判别式为 4 − 20 = −16，所以它的根是复数。韦达验算：根的和为 −2 + 1 − 1 − 1 = −3 = −b/a，积为 (−2)(1)(5) = −10 = e/a。