Calculadora de Equação do 4º Grau

Encontre as quatro raízes de uma equação do 4º grau ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, inclusive as repetidas e as complexas. Contadas com a multiplicidade, uma equação do 4º grau com coeficientes reais sempre tem quatro raízes: quatro reais, duas reais mais um par complexo ou dois pares complexos. A calculadora também escreve o polinômio na forma fatorada.

Como usar esta ferramenta

1. Informe os cinco coeficientes a a e, usando 0 nos termos que faltam.
2. Leia as raízes: as reais, da menor para a maior, e depois as complexas na forma p + qi.
3. Veja a quantidade de raízes reais e as raízes repetidas em “Natureza das raízes”.
4. Use a forma fatorada e a conferência de Vieta nas observações para confirmar a resposta.

Fórmula

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = a(x − r₁)(x − r₂)(x − r₃)(x − r₄)

Expandir a forma fatorada dá as relações de Vieta, por exemplo r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = −b/a e r₁r₂r₃r₄ = e/a. O método de Ferrari resolve a equação do 4º grau de forma algébrica por meio de uma cúbica resolvente, mas a fórmula fechada pode perder precisão na aritmética de ponto flutuante; por isso esta calculadora acha as quatro raízes juntas com a iteração de Aberth–Ehrlich e depois determina as raízes repetidas pelas derivadas do polinômio.

Exemplo

Para x⁴ + 3x³ + 5x² + x − 10 = 0, a calculadora devolve x = −2, x = 1 e o par complexo x = −1 ± 2i. A forma fatorada é (x + 2)(x − 1)(x² + 2x + 5); o fator quadrático tem discriminante 4 − 20 = −16, e é por isso que suas raízes são complexas. Conferência de Vieta: as raízes somam −2 + 1 − 1 − 1 = −3 = −b/a, e o produto é (−2)(1)(5) = −10 = e/a.