사차방정식 계산기

사차(4차)방정식 ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0의 네 근을 중근과 허근까지 모두 구합니다. 실수 계수의 사차방정식은 중복도를 포함해 항상 근이 네 개이며, 실근 4개, 실근 2개와 켤레 허근 1쌍, 켤레 허근 2쌍 중 하나입니다. 다항식을 인수분해한 꼴도 함께 보여 줍니다.

사용 방법

1. 다섯 계수 a부터 e까지 입력합니다. 없는 항은 0으로 둡니다.
2. 근을 확인합니다. 실근은 작은 값부터, 이어서 허근이 p + qi 꼴로 표시됩니다.
3. '근의 종류'에서 실근의 개수와 중근이 있는지 확인합니다.
4. 인수분해한 꼴과 메모의 비에타 검산으로 답을 확인합니다.

계산식

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = a(x − r₁)(x − r₂)(x − r₃)(x − r₄)

인수분해한 꼴을 전개하면 비에타의 공식이 나오며, 예를 들어 r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = −b/a, r₁r₂r₃r₄ = e/a입니다. 페라리의 방법은 분해 삼차식을 통해 사차방정식을 대수적으로 풀지만, 닫힌 공식은 부동소수점 계산에서 정확도가 떨어질 수 있습니다. 그래서 이 계산기는 에이버스-엘리히 반복법으로 네 근을 한꺼번에 구하고, 다항식의 도함수로 중근을 확정합니다.

예시

x⁴ + 3x³ + 5x² + x − 10 = 0의 근은 x = −2, x = 1, 켤레 허근 x = −1 ± 2i입니다. 인수분해하면 (x + 2)(x − 1)(x² + 2x + 5)이고, 이차 인수의 판별식이 4 − 20 = −16이므로 근이 허근입니다. 비에타 검산: 근의 합은 −2 + 1 − 1 − 1 = −3 = −b/a, 곱은 (−2)(1)(5) = −10 = e/a입니다.