多项式求根器（实根与复根）

求不超过 20 次的多项式的所有根，包括实根和复根。可以按平时的写法输入多项式（x^3 - 6x^2 + 11x - 6），也可以只输入系数（1, -6, 11, -6）。像 1/2 这样的有理根用有理根定理精确求出，其余的根通过数值计算得到，显示 10 位有效数字。精确有理根的重根会合并显示；彼此很接近的数值根精度可能较低。

使用方法

1. 以 x 为变量输入多项式，或从最高次幂起依次列出系数（缺项填 0）。
2. 查看各个根：先是实根，再是写成 a ± bi 的共轭复根对。
3. 用表格检验每个根：残差 |P(x)| 应基本为零。

计算公式

P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ = 0 Rational root theorem: any rational root p/q has p dividing a₀ and q dividing aₙ

求解器精确检验每个候选 p/q，每找到一个根就约去相应因式，余下二次式用求根公式，更高次则用同时寻找所有复根的杜兰–肯纳（魏尔斯特拉斯）迭代，并用数值方法检验收敛性。n 次多项式按重数计算，恰好有 n 个根。

示例

x³ − 6x² + 11x − 6：候选值为 ±1、±2、±3、±6。P(1) = 0，除以 (x − 1) 余下 x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)，所以根为 1、2、3。x³ − 2 没有有理根，它的根是 ∛2 ≈ 1.25992105 和一对共轭复根 −0.6299605249 ± 1.091123636i。