三次方程求解器

求解任意三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0。实系数三次方程至少有一个实根，另外两个根要么都是实根，要么是一对共轭复根。求解器会列出全部三个根、用于判断属于哪种情形的判别式，以及多项式的因式分解形式。

使用方法

1. 输入系数 a、b、c、d。缺少的项填 0，负号要保留。
2. 查看根：实根按从小到大排列，复根以 p + qi 的形式给出。
3. 查看判别式和根的类型。
4. 用因式分解形式验证答案，或对多项式进行因式分解。

计算公式

Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d²

Δ > 0 表示三个互不相等的实根，Δ = 0 表示有重根，Δ < 0 表示一个实根加一对共轭复根。根由简化三次方程 t³ + pt + q = 0（x = t − b/3a）得出：Δ > 0 时用三角函数公式，Δ < 0 时用卡尔丹公式，Δ = 0 时用重根的精确公式，并都用牛顿法进一步精修。

示例

2x³ − 4x² − 22x + 24 = 0。判别式 Δ = 112,896 为正，所以有三个互不相等的实根：x = −3、x = 1 和 x = 4。因式分解为 2(x + 3)(x − 1)(x − 4) = 0。代入 x = 1 验证：2 − 4 − 22 + 24 = 0，成立。