4次方程式の解の計算

4次方程式 ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0の4つの解を、重解や複素数解も含めてすべて求めます。実数係数の4次方程式は、重複を数えれば必ず解が4つあり、実数解4つ、実数解2つと共役な複素数解1組、共役な複素数解2組のいずれかです。多項式を因数分解した形も表示します。

使い方

1. 5つの係数aからeを入力します。ない項は0とします。
2. 解を確認します。実数解は小さい順に、続いて複素数解がp + qiの形で表示されます。
3. 「解の種類」で、実数解の個数と重解の有無を確認します。
4. 因数分解した形と、メモにあるヴィエタの検算で答えを確かめます。

計算式

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = a(x − r₁)(x − r₂)(x − r₃)(x − r₄)

因数分解した形を展開すると、ヴィエタの公式が得られます。たとえばr₁ + r₂ + r₃ + r₄ = −b/a、r₁r₂r₃r₄ = e/aです。フェラーリの方法は分解3次式を使って4次方程式を代数的に解きますが、閉じた公式は浮動小数点演算では精度が落ちることがあります。そのためこの計算ツールでは、エーバーリッヒ法で4つの解を同時に求め、多項式の導関数で重解を確定します。

計算例

x⁴ + 3x³ + 5x² + x − 10 = 0の解は、x = −2、x = 1、共役な複素数解x = −1 ± 2iです。因数分解すると(x + 2)(x − 1)(x² + 2x + 5)で、2次の因数の判別式は4 − 20 = −16なので、その解は複素数になります。ヴィエタの検算：解の和は−2 + 1 − 1 − 1 = −3 = −b/a、積は(−2)(1)(5) = −10 = e/aです。