삼차방정식 계산기

모든 삼차방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0을 풉니다. 실수 계수의 삼차방정식은 항상 실근을 적어도 하나 가지며, 나머지 두 근은 둘 다 실근이거나 서로 켤레인 허근입니다. 세 근과 어떤 경우인지 알려 주는 판별식, 그리고 인수분해한 꼴을 보여 줍니다.

사용 방법

1. 계수 a, b, c, d를 입력합니다. 없는 항은 0을, 마이너스 부호는 그대로 입력하세요.
2. 근을 확인합니다. 실근은 작은 값부터, 허근은 p + qi 꼴로 표시됩니다.
3. 판별식과 근의 종류를 확인합니다.
4. 인수분해한 꼴로 답을 검증하거나 다항식을 인수분해합니다.

계산식

Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d²

Δ > 0이면 서로 다른 실근 3개, Δ = 0이면 중근, Δ < 0이면 실근 1개와 켤레 허근 2개입니다. 근은 축약된 삼차식 t³ + pt + q = 0(x = t − b/3a)에서 구합니다. Δ > 0일 때는 삼각함수 공식, Δ < 0일 때는 카르다노 공식, Δ = 0일 때는 중근의 정확한 공식을 쓰고, 모두 뉴턴 방법으로 다듬습니다.

예시

2x³ − 4x² − 22x + 24 = 0. 판별식 Δ = 112,896은 양수이므로 서로 다른 실근 3개, 즉 x = −3, x = 1, x = 4입니다. 인수분해하면 2(x + 3)(x − 1)(x − 4) = 0입니다. x = 1을 대입하면 2 − 4 − 22 + 24 = 0으로 맞습니다.