3次方程式の解の計算

あらゆる3次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0を解きます。実数係数の3次方程式には必ず実数解が1つ以上あり、残りの2つは、どちらも実数解か、共役な複素数解のペアのどちらかです。3つの解、どのケースかを示す判別式、因数分解した形を表示します。

使い方

1. 係数a、b、c、dを入力します。ない項は0とし、マイナス符号もそのまま入力します。
2. 解を確認します。実数解は小さい順に、複素数解はp + qiの形で表示されます。
3. 判別式と解の種類を確認します。
4. 因数分解した形で答えを検算したり、多項式を因数分解したりできます。

計算式

Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d²

Δ > 0なら異なる実数解3つ、Δ = 0なら重解、Δ < 0なら実数解1つと共役な複素数解2つです。解は簡約した3次式t³ + pt + q = 0（x = t − b/3a）から求めます。Δ > 0では三角関数による公式、Δ < 0ではカルダノの公式、Δ = 0では重解の厳密な公式を使い、いずれもニュートン法で精度を高めています。

計算例

2x³ − 4x² − 22x + 24 = 0。判別式Δ = 112,896は正なので、異なる実数解が3つあり、x = −3、x = 1、x = 4です。因数分解すると2(x + 3)(x − 1)(x − 4) = 0です。x = 1を代入すると2 − 4 − 22 + 24 = 0となり、確かに成り立ちます。