다항식 근 계산기(실근·허근)

20차까지 다항식의 모든 근을 실근과 허근으로 구합니다. 다항식을 쓰는 그대로(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) 또는 계수만(1, -6, 11, -6) 입력하세요. 1/2 같은 유리근은 유리근 정리로 정확하게 찾고, 나머지 근은 수치로 계산해 유효숫자 10자리로 표시합니다. 정확한 유리근의 중복은 묶어서 보여 주며, 서로 가까운 수치 근은 정확도가 낮을 수 있습니다.

사용 방법

1. x를 변수로 하여 다항식을 입력하거나, 가장 높은 차수부터 계수를 나열합니다(없는 차수는 0).
2. 근을 확인합니다. 실근이 먼저, 그다음 켤레 허근 쌍이 a ± bi 꼴로 표시됩니다.
3. 표로 각 근을 검산합니다. 잔차 |P(x)|는 거의 0이어야 합니다.

계산식

P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ = 0 Rational root theorem: any rational root p/q has p dividing a₀ and q dividing aₙ

계산기는 모든 후보 p/q를 정확하게 검사하고, 찾은 근마다 인수를 나눈 뒤, 나머지가 2차이면 근의 공식을, 더 높은 차수에서는 모든 복소수 근을 동시에 찾는 뒤랑–커너(바이어슈트라스) 반복법을 사용하며, 수렴 여부를 수치로 확인합니다. n차 다항식은 항상 중복도를 포함해 정확히 n개의 근을 가집니다.

예시

x³ − 6x² + 11x − 6: 후보는 ±1, ±2, ±3, ±6입니다. P(1) = 0이고 (x − 1)로 나누면 x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)이 남으므로 근은 1, 2, 3입니다. x³ − 2는 유리근이 없으며, 근은 ∛2 ≈ 1.25992105와 켤레 허근 −0.6299605249 ± 1.091123636i입니다.