多項式の因数分解

1変数の多項式を入力すると、整数または分数の係数をもつ因数の積を探します。最大公約数をくくり出し、有理数解を探し、x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2)のような、より次数の高い因数も見つけられます。各因数について、重複度と解もあわせて一覧にします。

使い方

1. 6x^2 + x - 2や2x^3 - 8xのような多項式を入力します。(x+1)(x^2-4)のような積は、先に展開されます。
2. 「展開した多項式」の行で、入力が意図したとおりに読み取られているか確認します。
3. 因数分解した形を確認します。重なっている因数は累乗で表示されます。
4. 表で各因数の解を確認します。可能なら厳密な分数や根号で、そうでなければ数値の近似値で表示されます。

計算式

P(x) = c · xᵏ · f₁(x)^m₁ · f₂(x)^m₂ · …

cは定数の因数（係数の最大公約数と符号）、kはxの累乗、各fᵢは整数係数をもつ検証済みの因数、mᵢはその重複度です。有理数解p/qは有理数解の定理に従い、pは定数項の約数、qは最高次の係数の約数です。判別式b² − 4acが完全平方数でない2次の因数は、無理数または複素数の解をもち、そのまま残します。すべての因数は、厳密な整数の割り算で確認してから表示します。

計算例

x³ - 6x² + 11x - 6：有理数解の候補は±1、±2、±3、±6です。P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0、P(2) = 8 − 24 + 22 − 6 = 0、P(3) = 27 − 54 + 33 − 6 = 0なので、答えは(x - 1)(x - 2)(x - 3)で、解は1、2、3です。