多項式の解の計算（実数解・複素数解）
20次までの多項式のすべての実数解と複素数解を求めます。正確な有理数解、重複度、各解の残差による検算も表示します。
有理数解は厳密に求め、そのほかの解は有効数字約10桁の数値で求めます。
| # | 解 | 小数値 | 種類 | 重複度 | 残差 |P(x)| |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 実数（正確な有理数） | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 2 | 実数（正確な有理数） | 1 | 0 |
| 3 | 3 | 3 | 実数（正確な有理数） | 1 | 0 |
20次までの多項式のすべての解を、実数解も複素数解も求めます。多項式は書くとおりに（x^3 - 6x^2 + 11x - 6）、または係数だけ（1, -6, 11, -6）で入力してください。1/2のような有理数解は有理数解の定理で厳密に求め、残りの解は数値で計算して有効数字10桁で表示します。厳密な有理数解の重なりはまとめて表示し、互いに近い数値解は精度が下がることがあります。
使い方
- xを変数として多項式を入力するか、最高次から順に係数を並べます（ない次数は0）。
- 解を確認します。実数解が先に、続いて共役な複素数解のペアがa ± biの形で表示されます。
- 表で各解を検算します。残差|P(x)|はほぼ0になるはずです。
計算式
P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ = 0 Rational root theorem: any rational root p/q has p dividing a₀ and q dividing aₙ
計算ツールは、候補p/qをすべて厳密に調べ、見つかった解ごとに因数を割り、残りが2次なら解の公式を、それ以上の次数ではすべての複素数解を同時に探すデュラン–ケルナー（ワイエルシュトラス）法を使い、収束は数値で確認します。n次の多項式には、重複度を含めて必ずちょうどn個の解があります。
計算例
x³ − 6x² + 11x − 6：候補は±1、±2、±3、±6です。P(1) = 0で、(x − 1)で割るとx² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)が残るので、解は1、2、3です。x³ − 2には有理数解がなく、解は∛2 ≈ 1.25992105と、共役な複素数解−0.6299605249 ± 1.091123636iです。
よくある質問
多項式の解はいくつありますか？
複素数解と重解も数えて、ちょうど次数と同じ個数です（代数学の基本定理）。実数係数なら複素数解は共役なペアで現れるので、3次式には必ず実数解が1つ以上あります。
重複度とは何ですか？
解が何回重なっているかです。(x − 1)²(x + 2)では、x = 1の重複度は2です。重複度が偶数だと、グラフはx軸を横切らず、接して引き返します。
5次以上にも解の公式はありますか？
一般にはありません。アーベル–ルフィニの定理により、x⁵ − x − 1 = 0のような方程式は根号では解けないため、数値解法が標準的な方法です。
ない項はどう入力しますか？
係数モードでは、ない次数ごとに0を書きます。x³ − 2は1, 0, 0, -2です。xを使った式で入力した場合は、ない次数は自動で補われます。
最終更新:
この入力内容のページアドレス： https://kakao.mobile/ja/tools/polynomial-root-solver/
このツールを引用する
kakaoCalc. (2026, November 8). 多項式の解の計算（実数解・複素数解）. https://kakao.mobile/ja/tools/polynomial-root-solver/
“多項式の解の計算（実数解・複素数解）.” kakaoCalc, 8 Nov. 2026, kakao.mobile/ja/tools/polynomial-root-solver/.