多项式系数计算器
根据各组的大小精确计算多项式系数 n!/(k₁!k₂!…kₘ!)，也可以求 MISSISSIPPI 这类单词的字母有多少种不同的排列方式。
所用公式：7! ÷ (3! × 2! × 2!)
| 组 | 大小 | 剩余可选元素数 | 选法数 |
|---|---|---|---|
| 第 1 组 | 3 | 7 | C(7, 3) = 35 |
| 第 2 组 | 2 | 4 | C(4, 2) = 6 |
| 第 3 组 | 2 | 2 | C(2, 2) = 1 |
多项式系数表示把 n 个互不相同的元素分成大小分别为 k₁, k₂, …, kₘ、且各组有区分的若干组的方法数。它也等于含重复字母的单词的不同排列数，同时是展开 (x₁ + x₂ + … + xₘ)ⁿ 时各项的系数。本计算器使用精确的整数运算，即使答案有几百位，也会逐位完整显示。
使用方法
- 选择按各组大小计算，还是按要重排字母的单词计算。
- 输入用逗号分隔的各组大小（例如 3, 2, 2），或输入单词。
- 查看系数；n 等于各组大小之和。
- 表格把同一个结果重新写成二项式系数的连乘。
计算公式
(n; k₁, k₂, …, kₘ) = n! ÷ (k₁! × k₂! × … × kₘ!), n = k₁ + k₂ + … + kₘ
它也等于二项式系数的乘积 C(n, k₁) × C(n − k₁, k₂) × …：先选出第一组的成员，再从剩下的元素中选第二组，依此类推。只有两组时，它就是普通的二项式系数 C(n, k)；由于 0! = 1，空组不会改变结果。
示例
单词 MISSISSIPPI 有 11 个字母：M 出现 1 次，I 出现 4 次，S 出现 4 次，P 出现 2 次。不同排列的数量为 11! ÷ (1! × 4! × 4! × 2!) = 39,916,800 ÷ 1,152 = 34,650。
常见问题
它与组合数有什么区别？
组合数 C(n, k) 把元素分成“选中”和“未选中”两组，而多项式系数允许任意多个组。把 7 个人分成 1 个 3 人组和 2 个 2 人组（各组有区分），共有 7! ÷ (3! × 2! × 2!) = 210 种分法。
它与 (a + b + c)ⁿ 有什么关系？
展开 (a + b + c)⁷ 时，a³b²c² 的系数是 7! ÷ (3! × 2! × 2!) = 210。多项式定理指出，无论有多少项，只要各项指数之和为 n，这个公式都成立。
如果各组没有区分怎么办？
如果有几个大小相同的组且不考虑顺序，就除以这类组的个数的阶乘。把 6 个人分成 3 个无区分的 2 人组，共有 6! ÷ (2! × 2! × 2!) ÷ 3! = 90 ÷ 6 = 15 种。
能计算多大的数？
总数 n 最大可到 1,000。结果是精确值，超过 15 位时还会同时给出科学计数法。
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引用此工具
kakaoCalc. (2026, November 8). 多项式系数计算器. https://kakao.mobile/zh/tools/multinomial-coefficient-calculator/
“多项式系数计算器.” kakaoCalc, 8 Nov. 2026, kakao.mobile/zh/tools/multinomial-coefficient-calculator/.