隔板法（星与条）计算器

隔板法（星与条）用来计算把 n 个相同的物品分给 k 个不同的组有多少种方法：把糖果分给孩子，把选票分给候选人，或求 x₁ + x₂ + … + xₖ = n 的非负整数解。想象把物品当作排成一行的星，再放入 k − 1 个隔板把它们分成若干组。本计算器可处理空组、每组最少个数和每组最多个数，并在方法数不多时列出所有分法。

使用方法

1. 输入相同物品的个数 n。
2. 输入不同组的组数 k。
3. 设置每组最少个数：允许空组填 0，每组至少一个填 1。
4. 如有需要，输入每组最多个数。
5. 查看方法数、所用公式，以及在规模较小时列出的所有分法。

计算公式

方法数 = C(n + k − 1, k − 1)；每组至少一个时为 C(n − 1, k − 1)

n 颗星和 k − 1 个隔板排成一行，共有 n + k − 1 个位置，只要选定其中哪 k − 1 个是隔板，分法就确定了。每组至少 m 个时，先分出 k·m 个，剩下的 n − k·m 个随意分配。最少为 m 时，令 N = n − km，c = 最多 − m，由容斥原理得到 Σ (−1)ʲ C(k, j) C(N − j(c + 1) + k − 1, k − 1)。

示例

把 10 颗相同的糖果分给 3 个孩子，允许有孩子一颗也分不到。这相当于 10 颗星和 2 个隔板排在 12 个位置上，所以方法数为 C(12, 2) = 12 × 11 / 2 = 66 种。如果每个孩子至少要分到一颗，就先每人发一颗，再分剩下的 7 颗：C(9, 2) = 36 种。