多項係数計算

多項係数は、区別できる n 個のものを、大きさが k₁, k₂, …, kₘ の名前付きグループに分ける方法の数です。同じ文字を繰り返し含む単語の異なる並べ方の数と一致し、(x₁ + x₂ + … + xₘ)ⁿ を展開したときの係数にもなります。この計算ツールは正確な整数演算を使うので、数百桁の答えも一桁ずつそのまま表示します。

使い方

1. グループの大きさで計算するか、文字を並べ替える単語で計算するかを選びます。
2. 大きさをカンマで区切って入力する（例：3, 2, 2）か、単語を入力します。
3. 係数を確認します。n はグループの大きさの合計です。
4. 表では、同じ答えを二項係数の積として組み立て直して示します。

計算式

(n; k₁, k₂, …, kₘ) = n! ÷ (k₁! × k₂! × … × kₘ!), n = k₁ + k₂ + … + kₘ

同じ値は二項係数の積 C(n, k₁) × C(n − k₁, k₂) × … としても表せます。最初のグループの要素を選び、残りから二番目のグループを選び、というように続けます。グループが二つなら通常の二項係数 C(n, k) になり、0! = 1 なので大きさ0のグループは結果を変えません。

計算例

MISSISSIPPI は11文字で、M が1回、I が4回、S が4回、P が2回です。異なる並べ方の数は 11! ÷ (1! × 4! × 4! × 2!) = 39,916,800 ÷ 1,152 = 34,650 通りです。