错位排列计算器

错位排列是指重新排列后，没有任何元素回到原来位置的排列，经典例子是寄存帽子问题，或没有人抽到自己名字的抽签送礼。本计算器给出错位排列数 !n、随机打乱后恰好是错位排列的概率，以及“有多少元素留在原位”的完整分布。

使用方法

1. 输入元素个数：人、信件、帽子或座位。
2. “留在原位的个数”保持为 0 即为错位排列；输入 k 则统计恰好有 k 个元素在原位的排法数。
3. 查看个数和概率；表格列出了所有可能的不动点个数。

计算公式

!n = n! × Σ (−1)ᵏ / k! for k = 0 … n !n = (n − 1) × (!(n − 1) + !(n − 2)), with !0 = 1 and !1 = 0

第一个公式来自对留在原位的元素用容斥原理。对 n ≥ 1，!n 也等于 n!/e 四舍五入到最近的整数。恰有 k 个不动点的排法数（雷蒙特数）为 C(n, k) × !(n − k)：先选出留在原位的 k 个，再把其余元素做错位排列。

示例

4 个人交换礼物：分发方式共有 4! = 24 种，没有人拿到自己礼物的有 !4 = 3 × (!3 + !2) = 3 × (2 + 1) = 9 种，所以概率为 9/24 = 37.5%。恰好一个人拿到自己礼物的有 C(4, 1) × !3 = 4 × 2 = 8 种。对于 8 个人，40,320 种顺序中有 !8 = 14,833 种，约为 36.79%。