完全順列（撹乱順列）の計算

完全順列とは、どのものも元の位置に来ないように並べ替えることです。古典的な帽子預かり問題や、誰も自分の名前を引かないシークレットサンタの抽選がその例です。この計算ツールは、完全順列の数!n、ランダムにシャッフルした結果が完全順列になる確率、そして元の位置に残る個数の分布全体を表示します。

使い方

1. ものの個数（人、手紙、帽子、席など）を入力します。
2. 「元の位置に残るものの個数」を0のままにすると完全順列になります。kを入力すると、ちょうどk個が元の位置にある並べ方を数えます。
3. 場合の数と確率を確認します。表には、起こりうるすべての「元の位置に残る個数」が示されます。

計算式

!n = n! × Σ (−1)ᵏ / k! for k = 0 … n !n = (n − 1) × (!(n − 1) + !(n − 2)), with !0 = 1 and !1 = 0

1つ目の式は、元の位置に残るものについての包除原理から得られます。n ≥ 1のとき、!nはn!/eを最も近い整数に丸めた値にも等しくなります。ちょうどk個が元の位置にある並べ方（モンモールの数）は、C(n, k) × !(n − k)です。残るk個を選び、残りを完全順列にします。

計算例

4人でプレゼント交換をすると、配り方は4! = 24通り、誰も自分のものを受け取らないのは!4 = 3 × (!3 + !2) = 3 × (2 + 1) = 9通りなので、確率は9/24 = 37.5%です。ちょうど1人だけが自分のものを受け取るのは、C(4, 1) × !3 = 4 × 2 = 8通りです。8人なら、40,320通りの並びのうち!8 = 14,833通りで、約36.79%です。