조합 계산기

조합은 순서가 중요하지 않을 때 n개 중에서 r개를 골라 만들 수 있는 서로 다른 묶음의 수를 셉니다. 포커 패, 복권, 위원회, 피자 토핑 같은 경우입니다. n과 r을 입력하면 수백 자리가 되더라도 C(n, r)을 정확히 구하고, 대응하는 순열의 수, 특정 조합 하나를 뽑을 확률, n이 60 이하일 때 파스칼 삼각형의 한 행 전체를 함께 보여 드립니다.

사용 방법

1. 고를 수 있는 항목의 수 n을 입력합니다.
2. 고르는 개수 r을 입력합니다.
3. 아이스크림 스쿱처럼 같은 항목을 여러 번 고를 수 있다면 “중복 허용”을 선택합니다.
4. C(n, r)과 순열의 수, 확률을 확인합니다.

계산식

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) · 중복 허용: C(n + r − 1, r)

n!(n 팩토리얼)은 n × (n − 1) × … × 1이며 0! = 1입니다. r!로 나누면 각 묶음의 r!가지 순서가 제거되므로, 조합의 수는 순열 P(n, r) = n! / (n − r)!보다 클 수 없습니다. 중복을 허용하면 “별과 막대” 논법으로 n + r − 1개의 위치에서 r개를 고르는 문제로 바뀝니다.

예시

52장 카드에서 5장짜리 포커 패를 받는 경우: C(52, 5) = (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 311,875,200 / 120 = 2,598,960가지입니다. 순서를 구분하면 311,875,200가지 순서 있는 분배가 있고, 특정 패 하나를 받을 확률은 2,598,960분의 1입니다.