중복조합 계산기

같은 종류를 여러 번 골라도 되고 순서는 상관없을 때, n종류에서 r개를 고르는 방법의 수를 구합니다. 맛 목록에서 고르는 아이스크림 스쿱, 여러 종류의 동전 중에서 고르기, 빵집 쟁반에서 고르는 도넛 등이 그 예입니다. 이 수는 중복조합 또는 다중집합의 수, 'n multichoose r'이라고도 하며, 작은 경우에는 모든 선택을 나열해 줍니다.

사용 방법

1. n, 즉 선택할 수 있는 서로 다른 종류의 수를 입력합니다.
2. r, 즉 모두 몇 개를 고르는지 입력합니다. n보다 커도 됩니다.
3. 중복조합의 수와 비교를 위한 중복 없는 조합의 수, 순서가 있는 경우의 수를 확인합니다.

계산식

C(n + r − 1, r) = (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!)

'별과 막대' 논증으로 설명할 수 있습니다. r개의 별(고른 것)과 n − 1개의 막대(종류 사이의 칸막이)를 한 줄로 늘어놓습니다. 이 n + r − 1개 기호의 배열 하나하나가 정확히 하나의 선택에 대응하며, r개의 별이 놓일 자리를 고르면 위 공식이 됩니다.

예시

5가지 맛에서 3스쿱을 중복을 허용해 고르면 C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3) = 7! ÷ (3! × 4!) = 5040 ÷ 144 = 35가지입니다. 중복이 없다면 C(5, 3) = 10가지뿐이고, 스쿱의 순서까지 구분하면 5³ = 125가지입니다.