중복순열 계산기

“중복을 허용한 순열”은 일상에서 마주치는 두 가지 세기 문제를 다룹니다. PIN의 숫자, 코드의 글자, 반복해서 굴리는 주사위처럼 항목을 다시 쓸 수 있을 때는 경우의 수가 n^r입니다. MISSISSIPPI의 글자처럼 이미 중복이 들어 있는 고정된 집합을 재배열할 때는 N!을 반복되는 각 항목의 팩토리얼로 나눈 값이 됩니다. 이 계산기는 두 경우 모두, 아무리 커도 정확한 값으로 계산합니다.

사용 방법

1. 문제 유형을 고릅니다. 항목을 다시 쓸 수 있는 경우, 또는 중복이 있는 단어나 집합을 배열하는 경우입니다.
2. n^r에서는 각 자리의 선택지 수(n)와 자리 수(r)를 입력합니다.
3. 중복이 있는 경우에는 단어, 또는 4, 4, 2, 1처럼 반복되는 각 항목의 개수를 입력합니다.
4. 정확한 경우의 수를 확인하고 중복이 없는 경우의 값과 비교합니다.

계산식

항목 재사용: n^r · 중복이 있는 배열: N! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!)

n^r에서는 r개의 자리가 각각 n가지 중 무엇이든 될 수 있으므로 선택지가 곱해집니다. 중복이 있는 집합의 공식에서 N은 전체 항목 수이고 n₁ … nₖ는 서로 다른 각 항목이 나타나는 횟수입니다. 각 nᵢ!로 나누면 똑같은 항목끼리 바꾼 경우가 제거되는데, 이는 새로운 배열이 아니기 때문입니다.

예시

숫자 0~9를 반복해서 쓸 수 있는 4자리 PIN은 10^4 = 10,000가지이고, 숫자가 반복되지 않는다면 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040가지입니다. MISSISSIPPI는 11글자로 M이 1번, I가 4번, S가 4번, P가 2번 나타나므로 11! / (1! × 4! × 4! × 2!) = 39,916,800 / 1,152 = 34,650가지의 서로 다른 배열이 있습니다.