組合せ計算（nCr）

組合せは、順序が重要でないときに n 個から r 個を選んでできる異なるグループの数を数えます。ポーカーの手札、宝くじ、委員会、ピザのトッピングなどが該当します。n と r を入力すると、数百桁になっても C(n, r) を正確に求め、対応する順列の数、特定の 1 通りを選ぶ確率、n が 60 以下ならパスカルの三角形の 1 行全体も表示します。

使い方

1. 選べる項目の数 n を入力します。
2. 選ぶ個数 r を入力します。
3. アイスクリームのスクープのように同じ項目を複数回選べる場合は「重複を許す」にチェックします。
4. C(n, r)、順列の数、確率を確認します。

計算式

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) · 重複を許す場合：C(n + r − 1, r)

n!（n の階乗）は n × (n − 1) × … × 1 で、0! = 1 です。r! で割ることで各グループの r! 通りの並べ方が取り除かれるため、組合せの数は順列 P(n, r) = n! / (n − r)! を超えません。重複を許す場合は「星と棒」の考え方で、n + r − 1 個の位置から r 個を選ぶ問題に置き換わります。

計算例

52 枚のデッキから 5 枚のポーカーの手札を引く場合：C(52, 5) = (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 311,875,200 / 120 = 2,598,960 通りです。順序を区別すれば 311,875,200 通りの配り方があり、特定の 1 つの手札が配られる確率は 2,598,960 分の 1 です。