二項係数計算（nCk）

二項係数 C(n, k) は「n個からk個を選ぶ方法」の数で、順序を区別しないときに、異なるk個の組が何通りあるかを数えます。宝くじの確率、ポーカーの手の数、(a + b)ⁿ の係数、パスカルの三角形の数は、すべてこれです。この計算ツールは整数演算を使うので、数千桁の結果でも丸めずに正確です。

使い方

1. 区別できるものの全体の個数 n を入力します。
2. 選ぶ個数 k を入力します。
3. C(n, k) をすべての桁で確認します。大きな値は科学的記数法でも表示されます。
4. 選んだものの順序が大切なら、P(n, k) と比べます。
5. n が60以下なら、パスカルの三角形の行で、すべての C(n, k) を一度に見られます。

計算式

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

n! は n の階乗（n × (n − 1) × … × 1、0! = 1）です。このツールは (n − k + 1)/1 × (n − k + 2)/2 × … を順に掛けることで、各段階を整数のまま保ち、巨大な階乗を避けています。順列は P(n, k) = C(n, k) × k! です。

計算例

10人から3人の委員会を選ぶ方法は何通りでしょうか。C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120 通りです。3つの席が委員長・書記・会計のように別々の役なら順序が大切で、P(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720、これは 120 × 3! です。