円順列の計算

円順列は、円全体を回しても新しい並びにならないときに、異なるものを円形に並べる方法の数です。円卓に客を座らせる、ブレスレットにビーズを通す、選手を輪の形に並べる、といった場面で使います。全部を並べる場合も一部だけを並べる場合も計算でき、ネックレスやキーホルダーのように裏返したものを同じとみなすこともできます。

使い方

1. 異なるもの（人、ビーズ、鍵など）の個数を入力します。
2. 円形に並べる個数を入力します（任意）。空欄なら全部を使います。
3. ブレスレットのように円を裏返せる場合は、裏返しのチェックボックスにチェックを入れます。
4. 円順列の数を確認し、一列に並べた場合の数と比較します。

計算式

All n objects: (n − 1)! r of n objects: P(n, r) / r = n! / ((n − r)! × r) Flips allowed: divide by 2 (when r ≥ 3)

一列にはn!通りの順序があります。円形では、同じに見える回転が各順序にn通りあるので、n! / n = (n − 1)!になります。円を裏返せる場合は、時計回りの各順序に反時計回りの鏡像が対応するため、数は半分になります。

計算例

円卓の客8人：(8 − 1)! = 7! = 5,040通りで、一列に座る8! = 40,320通りより少なくなります。裏返せるブレスレットに異なるビーズ8個を通すなら、5,040 / 2 = 2,520通りです。6人のうち3人が3人掛けの円卓に座る場合は、6 × 5 × 4 / 3 = 40通りです。