重複順列の計算

「重複を許す順列」は、日常でよくある 2 種類の数え上げを扱います。暗証番号の数字、コードの文字、繰り返し振るサイコロのように項目を再利用できる場合の数は n^r です。MISSISSIPPI の文字のように、すでに重複を含む固定の集合を並べ替える場合は、N! を繰り返される各項目の階乗で割った値になります。この計算機は両方に対応し、どれほど大きくても正確な値で計算します。

使い方

1. 問題の種類を選びます。項目を再利用できる場合、または重複を含む単語や集合を並べる場合です。
2. n^r では、各位置の選択肢の数 (n) と位置の数 (r) を入力します。
3. 重複を含む場合は、単語、または 4, 4, 2, 1 のように繰り返される各項目の個数を入力します。
4. 正確な数を確認し、重複なしの値と比べます。

計算式

項目を再利用：n^r · 重複を含む並べ方：N! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!)

n^r では r 個の位置がそれぞれ n 通りのどれにもなれるため、選択肢が掛け合わされます。重複を含む集合の式では、N が項目の総数、n₁ … nₖ が異なる各項目の出現回数で、各 nᵢ! で割ることで、同じ項目どうしの入れ替えを取り除きます。これは新しい並べ方にならないためです。

計算例

数字 0〜9 を繰り返してよい 4 桁の暗証番号は 10^4 = 10,000 通りで、数字を繰り返せない場合の 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 通りと比べて多くなります。MISSISSIPPI は 11 文字で、M が 1 回、I が 4 回、S が 4 回、P が 2 回なので、11! / (1! × 4! × 4! × 2!) = 39,916,800 / 1,152 = 34,650 通りの異なる並べ方があります。