弦の長さ計算

弦とは、円周上の2点を結ぶ線分です。弦の長さは半径と、弦が中心からどれだけ離れているかで決まり、その離れ方は、中心角、中心から弦までの垂直距離、弦の上にある弧の高さ、弧の長さのいずれかで表せます。半径とこのうち一つを入力すると、弦の長さのほか、残りの三つの値と弓形の面積を計算します。

使い方

1. 半径のほかに、どの値が分かっているかを選びます。
2. 半径とその値を入力します。長さの単位はどれでも構いません。
3. 角度を使う場合は、度かラジアンを選びます。
4. 弦の長さと関連する値を確認します。

計算式

c = 2r · sin(θ/2) = 2√(r² − d²) = 2√(2rh − h²)

r は半径、θ は弦に対する中心角、d は中心から弦までの垂直距離、h は矢高（弧の高さ）で、小さいほうの弓形では h = r − d、大きいほうでは h = r + d です。弧の長さ s からは θ = s ÷ r となります。弦と弧にはさまれた弓形の面積は r²(θ − sin θ) ÷ 2 です。最も長い弦は直径 2r で、θ = 180° のときです。

計算例

半径 10、中心角 60° の円では c = 2 × 10 × sin 30° = 10 です。弦は中心から 10 × cos 30° = 8.660254 の位置にあり、矢高は 10 − 8.660254 = 1.339746、弧の長さは 10.471976、弓形の面積は 100 × (1.0471976 − 0.8660254) ÷ 2 = 9.058607 です。